Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések

Ebben a szakaszban néhány további alapvető fontosságú szerkesztést ismertetünk feladatokon keresztül. Ezek megoldását nem, vagy csak vázlatosan ismertetjük.

9.7. gyakorlat. Adott egy szakasz.

1. Osszuk fel -t két olyan darabra, amik hosszai úgy aránylanak egymáshoz, mint . (Ahol és két adott szakasz.)
2. Osszuk fel -t egyenlő részre!

Megoldás. Csak az a) rész megoldását ismertetjük. Húzzunk egy tetszőleges $A$ kezdőpontú segédfélegyenest, és ezen vegyük fel és pontokat úgy, hogy és . Szerkesszünk -vel párhuzamost -n keresztül. Ez a párhuzamos szelők tétele miatt szakaszt egy olyan belső pontban metszi, amire . A részletek kidolgozását az olvasóra bízzuk, lásd 25. ábra.

25. ábra. Szakasz arányos osztása

A 9.7. gyakorlat alapján oldjuk meg a következő feladatot:

9.8. gyakorlat. Szerkesszük meg egy pont középpontú, arányú középpontos hasonlóság melletti képét, ahol és adott szakaszok!

9.9. gyakorlat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott

1. egy oldala, és rajta fekvő két szöge.
2. két oldala, és a közbezárt szögük.
3. két oldala, és egy tetszőleges szöge.

Megjegyzés. A feladat megoldását az olvasóra bízzuk. Felhívjuk azonban a figyelmet a következőkre: az a) résznek pontosan akkor van megoldása, ha a megadott két szög összege kisebb, mint , és ilyenkor (izometria erejéig) pontosan egy megoldás van. A b) résznek mindig pontosan egy megoldása van (izometria erejéig). A c) résznek lehet egy vagy két megoldása is!

9.10. gyakorlat. Adott egy és egy hosszúságú szakasz. Szerkesszünk hosszúságú szakaszt!

Megoldás. Vegyük fel egy egyenesre egymás után az adott hosszúságú, és hosszúságú szakaszukat úgy, hogy és . Az szakasz felezőpontja legyen , s állítsunk merőlegest -ben -re. Messe az átmérőjű, sugarú kört és pontokban. A Thalész-tétel szerint derékszög, és így -re érvényes a magasság-tétel: , vagyis .

26. ábra hosszú szakasz szerkesztése

Megjegyzés. Ha egy derékszögű háromszög átfogója , egyik befogója , akkor a Pitagorász-tétel szerint a másik befogóra adódik. A szerkesztés ez alapján is elvégezhető.

9.11. gyakorlat. Szerkesszünk -os, -os, -os, -os és -os szögeket!

9.12. gyakorlat. Szerkesszük meg egy pont, egy egyenes és egy kör

1. adott tengelyre vonatkozó tükörképet;
2. adott vektorral vett eltoltját;
3. adott pont körüli, adott szöggel való elforgatottját!

9.13. feladat. Szerkesszünk szabályos ötszöget!

Tekintsük meg a szabályos ötszög szerkesztéséről készült videót a youtube-on!

Megjegyzés. A szabályos ötszög belső szögei -osak, ennek és a fentiek segítségével szerkeszthető minden egész számú többszöröse. (Hogyan?) Mély matematikai eszközökkel kimutatható, hogy más egész fokos szögek nem szerkeszthetőek körzővel és vonalzóval.

« Előző | Következő »