Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete

Három térelem kölcsönös helyzetét már feladatokon keresztül dolgozzuk fel.

1.1. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és a metszetegyenesek közül valamely kettő egy pontban metszi egymást, akkor a harmadik metszetegyenes is illeszkedik -re.

Legyenek , és a vizsgált síkok, amelyek közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást.
Az , az illetve az egyenesek legyenek rendre és .
Továbbá legyen a metszéspont. Másképpen, az a pont, amire és . (Lásd 2. ábra.)
Hasonlóan,

1. és miatt ;
2. és miatt .

Következésképpen is, azaz $. Tehát a pont rajta van az , és síkok által meghatározott metszetegyenesek mindegyikén.

2. ábra. A síkokat egy kocka lapsíkjaival szemléltethetjük

1.1. gyakorlat megoldását felhasználva oldjuk meg a következő gyakorlatokat önállóan!

1.2. gyakorlat. Adott 3 páronként egyenesben metsző sík. A három metszésvonaluk közül kettő párhuzamos. Mutassuk meg, hogy ekkor bármely két metszésvonal párhuzamos!

1.3. gyakorlat. A párhuzamos és síkokat az sík rendre és egyenesekben metszi. Mutassuk meg, hogy !

1.4. gyakorlat. Az egyenes párhuzamos a metsző és síkok mindegyikével. Mutassuk meg, hogy párhuzamos egyenessel is!

Megoldás. Csak azt az esetet tárgyaljuk, amikor nem illeszkedik az adott és síkok egyikére sem. A többi eset hasonló, ezek kidolgozását az olvasóra bízzuk.

Legyen egy tetszőleges pont, és legyen a és által feszített sík. illeszkedik -re, mivel mindkét síkon rajta van, másrészt párhuzamos is -vel, hiszen
síkra és is illeszkedik, de közös pontjuk nem lehet miatt. Így az az egyetlen egyenes, ami -re illeszkedik, és párhuzamos -vel. Hasonlóan érvelhetünk -re, s így kapjuk hogy . Mivel , így az állítást beláttuk.

« Előző | Következő »