Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 2.2.3. A magasságpont

A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsájtott merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. A magasságvonal és az oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja. A csúcsot a talpponttal összekötő szakaszt a háromszög magasságának nevezzük. A magasság szó gyakran ennek a szakasznak a hosszát is jelenti. Ez másképp mondva a csúcs távolsága a szemközti oldalegyenestől.

A magasság fogalmának bevezetését a háromszögre érvényes legelső területformulánk motiválhatja. Ha a háromszög csúcsával szemközt hosszú oldala van, és a hozzájuk tartozó magasság , akkor a háromszög területe

3. tétel. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.

Tekintsük meg a GeoGebraTube-on a vonatkozó dinamikus ábrát! A bizonyítás előtt ismételjük át a paralelogramáról tanult alapvető ismereteinket a Wikipédia alapján!

Bizonyítás. Tekintsük 4. ábrát. Jelölje a magasságvonalakat rendre , és . Húzzunk párhuzamost -val -n keresztül, -vel -n keresztül, és -vel -n keresztül. Ezek az egyenesek meghatároznak egy nagyobb

4. ábra. A háromszög magasságpontja

háromszöget, ennek csúcsait jelölje , és az ábra szerint. A négyszög paralelogramma, mivel és . Hasonlóan kapjuk, hogy négyszög is paralelogramma. Így . Ezért pont felezi szakaszt. Továbbá, , valamint , így . Kaptuk, hogy a szakasz felező merőlegese. Hasonlóan megmutatható, hogy az szakasz felező merőlegese, míg az szakasz felező merőlegese. Az , és egyenesek az oldalfelező merőlegesei, így valóban egy pontban metszik egymást.

2.1. gyakorlat. Legyen magasságpontja . Mi az magasságpontja?

2.2. gyakorlat. Vezessük be az félkerületére az jelölést, továbbá legyen a beírt kör sugara. Mutassuk meg, hogy az területére .

« Előző | Következő »