Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 3.2. Pitagorász-tétel

Talán az egész matematika leghíresebb tétele a következő.

5. tétel (Pitagorász-tétel). Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a befogók négyzeteinek összegével:

A tételre (állítólag) több mint 200 féle különböző bizonyítás ismert. Mi az előkészületeink után kényelmes helyzetben vagyunk.

Bizonyítás. A 3.1. és 3.2. gyakorlatok alapján felírhatjuk a beírt kör sugarát kétféleképpen:

Felhasználva, hogy , a tétel következik a fenti egyenlőségből, ha mindkét oldalt megszorozzuk -vel.
Tekintsük meg a tétel egy látványos szemléltetését a youtube-on.

3.3. gyakorlat. Számítsuk ki az oldalhosszúságú szabályos háromszög területét!

A tétel megfordítható, a megfordítást később igazoljuk:

6. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Végül egy nevezetes tételt tűzünk ki gyakorlatként, ami a Pitagorász-tétel következménye.

7. tétel (Paralelogramma-tétel). Mutassuk meg, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege, megegyezik az átlóinak négyzetösszegével! Azaz, ha egy paralelogramma oldalai és , átlói pedig és , akkor

6. ábra. Paralelogramma-tétel

Bizonyítás. Írjuk fel a Pitagorász-tételt 6. ábrán látható derékszögű háromszögekre:
-re kapjuk, hogy .

-re , míg -re .

Utóbbi kettőt összeadva, és a négyzetreemeléseket elvégezve, egyszerűsítve adódik, hogy . Végül ebbe a legelső Pitagorász-tételt beírva kapjuk a paralelogramma-tételt:

Paralelogramma-tétel a GeoGebraTube-on.

« Előző | Következő »