Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 7.3. Tengelyes szimmetriák

7.5. feladat. Egy korlátos alakzat tengelyesen szimmetrikus az és egyenesekre vonatkozóan is. Igaz-e, hogy ekkor szimmetrikus az egyenesre is, ahol az egyenes -re vett tükörképe? Indokoljunk részletesen, vagy adjunk ellenpéldát!

Megoldás. Legyen pont tetszőleges. Tükrözzük -t először -re, a kapott pontot tükrözzük -re, majd a kapott pontot újfent tükrözzük -re. Azt állítjuk, hogy az így kapott pont éppen -re vonatkozó tükörképe. Ennek a ténynek az igazolását az olvasóra bízzuk (16. ábra ill. a vonatkozó dinamikus ábra).
Ebből viszont a kérdésre pozitív válasz következik, hiszen az -re vonatkozó tükrözés helyettesíthető három tükrözés egymásutánjával (rendre -re, -re majd -re tükrözünk), amelyek külön-külön mind invariánsan hagyják -t. korlátossága nem lényeges feltevés.

7.6. feladat. a) Egy korlátos alakzatnak pontosan két szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy ezek egymásra merőlegesek!

b) Egy korlátos alakzatnak páros sok szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy középpontosan szimmetrikus! (Vagyis van egy középpontos tükrözés szimmetriája.)

16. ábra. Tengely tükrözések konjugálási szabálya

Megoldás. a) Legyen a két szimmetriatengely . Legyen tükörképe -re . 7.5. feladat szerint is szimmetriatengely, így vagy , de akkor , ami ellentmond feltevésünknek, vagy , amiből azonnal következik.

b) Részletes megoldást nem adunk, csak a lényeges gondolatokat közöljük. Ismét csak 7.5. feladatot használjuk. Válasszuk ki szimmetriatengelyt. A maradék szimmetriatengelyek -re szimmetrikus párokba rendeződnek, de mivel páratlan sokan vannak, így valamelyiknek, mondjuk -nek nem jut pár. Az a) részhez hasonlóan következik, hogy . Ha van két egymásra merőleges szimmetriatengely, akkor az alakzat középpontosan is szimmetrikus.

A következő feladatot érdeklődő olvasóink figyelmébe ajánljuk.

7.7. feladat. Egy korlátos alakzatnak legalább két szimmetriatengelye van. Igazoljuk, hogy az összes szimmetriatengely egy közös ponton halad keresztül!

Ötlet. Ha -nak szimmetriatengelye, akkor -nak mindkét félsíkjába esik pontja (vagy tartalmazza -t). Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, és 7.5. feladat segítségével konstruáljunk olyan szimmetriatengelyt, amire ez nem teljesül. Jegyezzük meg, hogy ha nem korlátos, akkor az állítás nem igaz, lásd például az egyenest.

« Előző | Következő »