Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 10.1. Alapfeladatok

10.1. gyakorlat. Szerkesszünk trapézt, ha adott a négy oldala!

Megoldás. Induljunk ki a megoldásból, és tegyük fel, hogy a keresett trapéz, aminek oldalai rendre és $d$, 27. ábra szerint. Feltesszük, hogy , az eset vizsgálatát az olvasóra bízzuk. Toljuk el szárat vektorral: pont képe nyilvánvalóan lesz, pont képét jelöljük .vel. A feltevések szerint oldalai rendre , és , ezért szerkeszthető. Ezután pont szerkesztése egyszerű, egyenesből egy középpontú, sugarú kör metszi ki, végül pontot pont -ral való eltoltjaként kapjuk.

27. ábra. Trapéz szerkesztése négy oldalából

Elemzés: ha szerkeszthető, akkor egyértelmű a megoldás.

10.2. gyakorlat. Adott egy kör, egy egyenes és egy pont. Szerkesszünk olyan egyenest ponton keresztül, hogy a -lel és -val vett (egyik) metszéspontja által meghatározott szakaszt az pont felezze.

Megoldás. Tegyük fel, hogy és (egyik) közös pontja , , valamint hogy felezi szakaszt. Vegyük észre, hogy ez azt jelenti, hogy illeszkedik az egyenes -ra vonatkozó középpontos tükörképére! Ezek alapján a szerkesztés egyszerűen elvégezhető: tükrözzük -t -ra, s keressük meg az tükörkép -val való metszéspontjait. Ezeket -val összekötve kapjuk a keresett egyenest vagy egyeneseket.

Elemzés: a körnek és egyenesnek , vagy metszéspontja lehet, e szerint a feladatnak , vagy megoldása lesz.

10.3. feladat.

1. Írjunk az adott háromszögbe négyzetet, aminek két csúcsa a háromszög $AB$ oldalára, egy-egy csúcsa pedig a háromszög ill. oldalára illeszkedik!
2. Írjunk az adott háromszögbe olyan háromszöget, aminek oldalai párhuzamosak az adott , és egyenesekkel. (Az háromszög minden oldalára illeszkedik a beírt háromszögg egy-egy csúcsa.)
3. Írjunk az adott háromszögbe olyan téglalapot, amely oldalainak aránya .

Megoldás. Csak az a) pontot részletezzük, a másik két alfeladat megoldása analóg módon történik. Tekintsük \aref{fig:hban}. ábrát. Jelöljük ki oldal tetszőleges pontját, a -ből -re bocsájtott merőleges talppontja legyen . Szerkesszük meg $R$ pontot $AB$-n úgy, hogy az ábra szerint. Végül szerkesszük meg pontot, hogy négyszög négyzet legyen. Természetesen pont általában nem illeszkedik oldalra, ezért nem megoldása a feladatnak.

28. ábra. Négyzet szerkesztése adott háromszögbe

Messe egyenes a oldalt -ben. Alkalmazzunk négyszögre középpontú, arányú középpontos hasonlóságot; ez természetesen -t, -be viszi. Legyen képe . A középpontos hasonlóság szögtartó, ezért téglalap, valamint aránytartó is, ezért minden oldala egyenlő. Így négyzet. A konstrukció miatt , a középpontos hasonlóság megadása miatt pedig és , ezért a feladat megoldása.

Elemzés: ha hegyesszögű, akkor pontosan egy megoldás van. (Miért?) Gondoljuk meg mi történik, ha tompaszögű.

Tekintsük meg a vonatkozó dinamikus ábrát!

A b) és c) részeknél hasonlóan járjunk el, szerkesszünk egy a keresetthez hasonló alakzatot, ami ``majdnem jó'', vagyis egy kivételével csúcsai illeszkednek a megfelelő oldalakra, majd nagyítsuk fel középpontosan.

« Előző | Következő »