Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző

# 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

## Célok

Nehezebb tételek önálló feldolgozása; lehetséges témák referáláshoz, kiselőadáshoz.

A kurzus zárásaként összegyűjtöttünk néhány közismert, nevezetes elemi geometriai feladatot és tételt egyfajta csemegeként. Legtöbb esetben az állítás kimondása után csak szakirodalmi referenciát adunk.

13.1. feladat (Izogonális pont, Fermat-Toricelli pont).
Adott hegyesszögű háromszögben keressük meg azt pontot, aminek a csúcsoktól mért távolságösszege minimális! Mutassuk meg, hogy ez a pont egyértelmű, belőle minden oldal ugyanakkora szög alatt látszik!

A feladatra több megoldás is ismert, ezeket gyűjtötte össze Szmerka Gergely 2008. áprilisi KöMaL-cikkében.

A Fermat-Torricelli pontról bővebben az alábbi prezentációban olvashatunk.

13.2. feladat (Fagnano feladata, talpponti háromszög).
Adott a hegyesszögű háromszög, egy $H$ háromszöget az -ba írtnak mondunk, ha egy-egy csúcsa illeszkedik egy-egy oldalára. Tekintsük az háromszög magasságvonalainak talppontjai által meghatározott háromszöget. Mutassuk meg, hogy az -be írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb!

A feladat megoldása megtalálható például itt.

Szintén a talpponti háromszög fenti tulajdonságával foglalkozik H. S. M. Coxeter - S. L. Greitzer: Az újra felfedezett geometria c. könyvének 4.5. szakasza.

30. tétel (Euler-féle formula és a sugáregyenlotlenség).
Legyen egy (hegyesszögű) háromszög beírt körének sugara , körülírt körének sugara , a beírt és körülírt körök középpontjainak távolsága . Ekkor

1. (Euler-féle formula)
2. (sugáregyenlőtlenség)

Természetesen a sugáregyenlőtlenség azonnal következik az Euler-féle formulából, hiszen .

Az Euler-féle formula elemi bizonyítása megtalálható a Wikipédián.

Inverziót is használó bizonyítás, illetve némi kitekintés a témában található ebben a prezentációban.

31. tétel (Ptolemaiosz-tétel, Ptolemaiosz-egyenlotlenség).
Egy konvex négyszög oldalai a körüljárás szerint , , és , átlói és . Ekkor
egyenlőség pontosan húrnégyszögekre teljesül.

A Ptolemaiosz-tételt sokszor csak egyenlőség formájában mondják ki húrnégyszögekre. A vonatkozó Wikipédia szócikk is ezt a formát bizonyítja. Az általános egyenlőtlenség bizonyítása megtalálható pl. Reimann István: Nemzetközi matematikai olimpiák (1959-2003) c. könyv 7. fejezetének [24] szakaszában.

32. tétel (Erdos-Mordell egyenlotlenség)).
Legyen az belső vagy határpontja, az oldalegyenesktől mért távolságai rendre és , míg a csúcsoktól mért távolságai és . Ekkor

és egyenlőség csak akkor teljesül, ha az szabályos háromszög középpontja.

Az Erdős-Mordell egyenlőtlenség az elemi háromszöggeometria egyik legmélyebb eredménye. Sok szép következménye ismert, például a korábban látott sugáregyenlőtlenség is következik belőle. Számtalan kapcsolódó szakirodalom létezik, ezek közül mi melegen ajánljuk Kubatov Antal vonatkozó cikkét.(Pdf formátumban elérhető itt.) Szintén olvashatunk az Erdős-Mordell tételről Reimann István: Nemzetközi matematikai olimpiák (1959-2003) c. könyv 7. fejezetében.

« Előző