Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 8.1. Középpontos hasonlóság

Adott egy pont (középpont), és egy valós szám (arány). Az középpontú, arányú középpontos hasonlóságot a következőképpen definiáljuk: pont képe önmaga, minden más pont képe az a pont az félegyenesen, amire .

17. ábra. A centrális hasonlóság (hasonló háromszögek)

Tekintsük meg a középpontos hasonlóságot szemléltető dinamikus ábrát a GeoGebraTube-on.

A következő tételben összegyűjtöttük a középpontos hasonlóság legfontosabb tulajdonságait. Ez a tétel lényegében a párhuzamos szelőkről és szelőszakaszokról 4.2. szakaszban elmondottak következménye.

21. tétel. A középpontos hasonlóság

1. aránytartó, egy hosszúságú szakasz képe ;
2. szögtartó;
3. párhuzamos egyenesekpárokat párhuzamos egyenespárokba visz;
4. a középpontra illeszkedő egyeneseket invariánsan hagyja.

Ha (középpontos) nagyításról, esetén (középpontos) kicsinyítésről beszélünk. Szokás értelmezni a középpontos hasonlóságot arány esetén is, ilyenkor először végrehajtunk egy arányú középpontos hasonlóságot a korábban leírtak szerint, majd tükrözünk középpontosan -ra.

A kerület, terület és a középpontos hasonlóságok kapcsolatát vizsgálja a következő feladat.

8.1. gyakorlat. a) Egy négyzet oldalait kétszeresére növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?
b) Egy négyzet oldalait -szorosára növeljük. Hogyan változik a kerülete és a területe?

Megoldás. a) A kerület kétszeresére, a terület négyszeresére nő.b) A kerület -szorosára, a terület -szeresére változik. Tekintsük meg az illusztráló dinamikus ábrát.
A fentiek alapján világos, de precízen már azért nehezebben igazolható a következő tétel.

22. tétel. Ha egy lemezt -szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, kerülete -szorosára, területe -szeresére változik.

A térbeli analógia is világos.

8.2. gyakorlat. a) Egy kocka éleit háromszorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
b) Egy kocka éleit -szorosára növeljük. Hogyan változik a felszíne és a térfogata?
c) Egy testet -szorosára nagyítunk/kicsinyítünk, hogyan változik a felszíne és térfogata?

« Előző | Következő »