Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 9.2. Euklidészi alapszerkesztések

9.1. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott szakasz szakaszfelező merőlegesét!

Megoldás.Ismétlésül idézzük fel a szakaszfelező merőleges fogalmát: azon pontok halmaza a síkon, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak. Tudjuk, hogy a keresett alakzat egy egyenes, ezért elég lenne két pontját megszerkeszteni. Ilyeneket viszont könnyen találunk, ha és körül is rajzolunk egy-egy sugarú kört, akkor ezek metszéspontjai nyilvánvalóan rajta lesznek a keresett szakaszfelező merőlegesen. Ezek alapján a szerkesztés részletes menete (lásd 21. ábra):

1. szúrjuk -ba a körzőt, nyissuk ki nyílásra, és rajzoljuk meg az körüli sugarú kört;
2. hasonlóan rajzoljuk meg a körüli sugarú kört;
3. a két kör metszéspontjait összekötő egyenes a keresett szakaszfelező merőleges.

Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

21. ábra. Szakaszfelező merőleges szerkesztése

9.2. gyakorlat. Adott az egyenes és egy pont. Szerkesszük meg azt az -re merőleges egyenest, ami illeszkedik -re!

Megoldás.Visszavezetjük a feladatot előzőre. Elég lenne kijelölnünk egy olyan szakaszt -n, aminek a szakaszfelező merőlegese átmegy -n. Ez utóbbi pontosan akkor teljesül, ha a szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra van. Ezek alapján a szerkesztés menete (22. ábra):

1. jelöljünk meg -n egy (-től különböző és távoli) tetszőleges pontot;
2. rajzoljunk körül sugarú kört;
3. legyen a kör és egyenes -n kívüli második metszéspontja ;
4. szerkesszünk meg szakaszfelező merőlegesét, ez illeszkedik -re, és merőleges -re.

Elemzés: a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

22. ábra. Merőleges bocsájtása pontból egyenesre

Megjegyzés: előfordulhat, hogy a rajzolt segédkör csak -ban metszi -t, ilyenkor éppen a keresett egyenes. A szerkesztési feladatok megoldásánál általában feltesszük, hogy a választott pont nem speciális. (Ez egyébként jogos feltevés, hiszen ha véletlenül speciális pontot válaszottunk, újrakezdjük az eljárást új segédpontot használva. Illetve kimutatható, hogy a nem speciális segédpont is szerkeszthető, de ennek részletezése csak körülményessé tenné a leírást, és gyakorlati jelentősége igazából nincs.)

9.3. gyakorlat. Adott az egyenes és egy pont. Szerkesszük meg azt az -vel párhuzamos egyenest, ami illeszkedik -re!

I. megoldás. Kétszer alkalmazva az előzőeket célba érhetünk. Először szerkesszünk egy tetszőleges egyenest, ami merőleges -re. Majd szerkesszünk -re illeszkedő, -re merőleges egyenest, ez megoldása a feladatunknak.
II. megoldás. Az I. megoldásban adott módszer szükségtelenül hosszadalmas - kihasználva a paralelogrammáról tanultakat, gyorsabban célba érhetünk. Ha sikerül egy olyan paralelogrammát szerkeszteni, aminek egyik csúcsa , és egy -re nem illeszkedő oldalegyenese , akkor készen vagyunk. A szerkesztés menete (23. ábra):

1. jelöljünk meg -n két tetszőleges és pontokat;
2. rajzoljunk körül sugarú kört;
3. rajzoljunk körül sugarú kört;
4. a két kör -n kívüli második metszéspontja legyen , egyenes megfelelő.

23. ábra. Párhuzamos egyenes szerkesztése

Elemzés: a két kör két pontban metszi egymást, de az egyik metszéspont hamis megoldást ad, feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

9.4. gyakorlat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott három oldalának hossza.

Megoldás.Keressük háromszöget, ha adottak és oldalai. Jelöljük ki és csúcsokat egymástól távolságra egymástól. Az csúcs -től , -től távolságra van, így előállítható két kör metszéspontjaként. A szerkesztés menete:

1. a tetszőleges pont körül szerkesszünk sugárral kört, majd a körvonalon jelöljünk ki tetszőleges pontot;
2. rajzoljunk körül sugarú kört;
3. rajzoljunk körül sugarú kört;
4. a két kör második metszéspontjai szolgáltatják a keresett csúcsokat .

Elemezés: pont helyzete és a oldalegyenes tetszés szerint kijelölhető. Ezután a szerkesztés két különböző csúcsot, és mindegyikhez két különböző csúcsot szolgáltathat. csúcs mindig szerkeszthető, vegyük azonban észre, hogy -t adó körök nem feltétlen metszik egymást. Könnyű meggondolni, hogy a metszés feltétele, hogy a háromszög oldalaira az , és $c<a+b$ háromszög-egyenlőtlenségek egyszerre teljesüljenek. Világos azonban, hogy ha létezik megoldás, akkor a háromszögek egybevágóságának alapesetei miatt az összes kapott megoldás egybevágó, ezek között nem szokás különbséget tenni: a feladatnak pontosan egy megoldása van, ha az adatok kielégítik az , és háromszög-egyenlőtlenségeket. Ha valamelyik esetben szigorú egyenlőtlenség helyett egyenlőség teljesül, akkor elfajuló megoldásként három kollineáris pontot kapunk, ezt mi nem tekintjük háromszögnek.

9.5. gyakorlat. Adott egy nagyságú szög, egy pont, és egy kezdőpont félegyenes. Szerkesszünk kezdőpontú félegyenest úgy, hogy és által bezárt szög az adott szöggel egyenlő legyen.

Megoldás. Válasszunk az adott nagyságú stög szárain tetszőleges és pontokat, csúcsát jelölje $R$. A szöge éppen . Az előbbiek szerint tudunk -lel egybevágó háromszöget szerkeszteni, amelynek egyik csúcsa , erre illeszkedő oldalegyenese $e$, és -nál szöge van. A részleteket az olvasóra bízzuk.

9.6. gyakorlat. Szerkesszük meg egy adott szög (belső) szögfelezőjét.

Mielőtt a feladat megoldását megismerjük, ismételjük át a rombuszról tanultakat!

Megoldás. A szögfelező értelemszerűen illeszkedik a szög csúcsára, így elég lenne még egy pontját megkeresni. Segítségül hívjuk a rombuszról tanultakat: a rombusz átlói felezik a belső szögeit. Ezek alapján a szerkesztés menete (24. ábra):

1. legyen az adott szög csúcsa , és jelöljünk ki egy tetszőleges hosszúságú szakaszt;
2. szerkesszünk körül sugarú kört, ez messe a szögszárakat -ban és -ben;
3. szerkesszünk körüli sugarú, és körüli sugarú kört;
4. a két kör -tól különböző, második metszéspontja illeszkedik a keresett szögfelezőre.

24. ábra. Szögfelező szerkesztése

Elemzés: pontosan egy megoldás van.

« Előző | Következő »