Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 10.2. Gyakorlatok

10.4. gyakorlat. Adottak a koncentrikus és körök. Szerkesszünk olyan egyenest ami a két körvonalat , , és pontokban metszi (az egyenesen ebben a sorrendben), és .

Vázlat. Vegyük észre, hogy pl. pont tetszőlegesen kijelölhető. Ha kiindulunk a megoldásból, akkor pont -re vett tükörképe éppen . Így illeszkedik -re vett középpontos tükörképére. A szerkesztés 10.2. gyakorlathoz hasonlóan végezhető el. Hány megoldás lesz? Mennyiben térnek el ezek egymástól?

10.5. gyakorlat. Adott egy kör, és rajta [a körvonalon] három pont , és . Szerkesszük meg azt az húrt, amelyet a húr felez.

Ötlet. Ha húrt pontból középpontosan kétszeresére nagyítjuk, a nagyított képnek tartalmazni kell pontot. , vagy megoldás lehet.

10.6. gyakorlat. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az egyik hegyesszöge és befogóinak összege!

Vázlat. Legyen az adott hegyesszög , a befogók adott összege . Szerkesszünk tetszőleges derékszögű háromszöget, aminek egyik hegyesszöge , ennek befogói legyenek és . Nagyítsuk ezt a derékszögű háromszöget arányban. Egy megoldás van.

10.7. gyakorlat. Az egyenes egyazon partján adva van az és pont. Szerkesszünk az egyenesen olyan pontot, amire az és egyenesek ugyanakkora szöget zárnak be egyenessel.

Ötlet. Legyen pont egyenesre vett tükörképe . Az , és a keresett pontok kollineárisak. Egy megoldás van.

A leckét néhány nehezebb feladattal zárjuk.

10.8. feladat. Az egyenes egyazon partján adva van az és pont. Szerkesszünk az egyenesen olyan pontot, amire az egyenes kétszer akkora szöget zár be egyenessel, mint a egyenes.

A megoldás lényegében leolvasható 29. ábráról.

29. ábra. A 10.8. feladat megoldása

Az utolsó feladatot csak érdeklődő olvasóknak ajánljuk.

10.9. feladat. Adott az egyenesen az pont, és az egyenesen a pont. Szerkesszünk egyenest, ami olyan ill. pontokban metszi az ill. egyeneseket, amikre és

1. párhuzamos egy adott egyenessel.
2. áthalad egy rögzített ponton.
3. az szakasz adott hosszúságú.
4. egy adott egyenes felezi az szakaszt.

Ötletek. Minden alrész megoldása a következő állításon múlik.
Legyenek két egyenlő hosszú, nem párhuzamos, egymással szöget bezáró szakaszok. (Szakaszok szögét az őket tartó egyenesek szögeként értelmezzük.) Ekkor létezik egy olyan pont, hogy az körüli vagy szögű forgatás -t -be, -t pedig -ba viszi.
Ennek igazolása nem túl nehéz, az pont az szakaszfelező merőlegesének és szakaszfelező merőlegesének metszéspontjában kell legyen. A feltétel miatt és egybevágóak, hiszen oldalaik páronként egyenlőek, amiből következik. (Hogyan?) A forgatás nyilvánvalóan egyenest -ba viszi, ezért a forgatás szöge vagy .
Esetünkben ismert és valamint is, ezért (minden lehetséges) pont megszerkeszthető.

1. Legyen az egyenes körüli megfelelő elforgatottja , és . egyenes kimetszi -ből -t. Miért?
2. Legyen megfelelő elforgatott képe . Az szakasz (vagy ) szögű látóköríve kimetszi -ből -t. Miért?
3. Mivel hossza ismert, így hossza szerkeszthető. Fejezzük be a gondolatmenetet!
4. -ből -t egy ismert szögű és ismert arányú forgatva nyújtással kaphatjuk. Hogyan?

« Előző | Következő »