Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 8.2. Alapismeretek

Egy transzformációt hasonlósági transzformációnak, vagy röviden hasonlóságnak nevezünk, ha létezik egy valós szám, a hasonlóság aránya, úgy, hogy minden pontpárra teljesül, vagyis szakasz képe egy -szor olyan hosszú szakasz.

Példa hasonlóságra az előző szakaszban tárgyalt középpontos hasonlóság.

Vegyük észre, hogy ha végrehajtunk egymás után egy arányú hasonlóságot, majd egy $1/\lambda$ arányú középpontos hasonlóságot, az eredmény távolságtartó lesz, hisz minden szakasz hossza -szeresére változik. Így valójában ha jól megismerjük az izometriákat, és a középpontos hasonlóságokat, akkor az összes hasonlóságot megérthetjük. Speciálisan, a középpontos hasonlóságok és az izometriák közös tulajdonságait örökli minden hasonlóság.

23. tétel. Minden hasonlóság

1. szögtartó;
2. párhuzamos egyenespárokat párhuzamos egyenespárokba visz.

8.3. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy kör hasonlóság melletti képe kör.

Megoldás. Legyen a kör középpontja , sugara . Legyen tetszőleges arányú hasonlóság és . Tetszőleges pont képe -től definíció szerint távolságra van, így képe az középpontú, sugarú kör lesz.

Két alakzat hasonló, ha létezik olyan hasonlóság, ami egyiket a másikba viszi. Precízebben és hasonló, ha
létezik hasonlóság úgy, hogy . Jele: .

8.4. gyakorlat. Igazoljuk, hogy bármely két kör hasonló.

Ötlet. Legyen a két kör és , középpontjaik és , sugaraik és . Tekintsük azt a transzformációt, amit egy vektorú eltolás és egy középpontú, arányú középpontos hasonlóság egymás után alkalmazásával kapunk. Ez a transzformáció hasonlóság, és a kört -be viszi.

Háromszögek egybevágóságának alapeseteinek mintájára kimondhatjuk a következő tételt.

24. tétel (Háromszögek hasonlóságának alapesetei). Két háromszög hasonló, ha a következők valamelyike teljesül:

1. megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő;
2. két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők;
3. szögeik páronként egyenlőek;
4. két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők.

« Előző | Következő »