Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele

A következő tétel kulcsfontosságú elméleti jelentőségű.

14. tétel (Párhuzamos szelők tétele). Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos és egyenesek rendre és , ill. és pontokban. (Lásd 8. ábra.) Ekkor

Bizonyítás. Az és az -ból induló magassága megegyezik, jelölje ezt . Így

Hasonlóan indokolhatunk és esetén, és így nyerjük, hogy

8. ábra. A párhuzamos szelők tétele

Belátjuk, hogy , így a tétel a fenti két egyenlőségből azonnal következik. Ehhez vegyük észre, hogy , hiszen alap közös, és a hozzá tartozó magasság a két háromszögben egyenlő miatt. Így

4.6. gyakorlat. Készítsünk a párhuzamos szelők tételét szemléltető dinamikus ábrát.

A tételt felhasználva bizonyítsuk a következő, általánosabb alakot.
4.7. gyakorlat. Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos , , és egyenesek rendre és , és , és , ill. és pontokban. Ekkor
Ötlet. A párhuzamos szelők tételének előbb igazolt alakja szerint létezik valamilyen valós szám, hogy , ahol helyén állhat , , vagy .

Az , , stb. szakaszokat szokás szelőszakaszoknak is nevezni. Ezek hosszáról is állíthatunk hasonlót, mint az előbbi tételekben.

15. tétel (Párhuzamos szelőszakaszok tétele). Egy csúcsú szög szárait messék a párhuzamos és egyenesek rendre és , ill. és pontokban. (8. ábra.) Ekkor

Bizonyítás. Húzzunk párhuzamost -n keresztül -vel, és messe ez -t -ben, lásd 9. ábra. A párhuzamos egyenespárok miatt paralelogramma, ezért . Alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételének erősebb alakját (4.7. gyakorlat) a csúcsú szögre, és az és egyenesekre:
ahogy állítottuk.

9. ábra. A párhuzamos szelőszakaszok tétele

A tételek megfordíthatóak.

16. tétel (Párhuzamos szelők tételének megfordítása). Egy csúcsú szög szárait messék az és egyenesek rendre és , ill. és pontokban. (Lásd 8. ábra.) Tegyük fel, hogy

10. ábra. A párhuzamos szelők tételének megfordításával vigyázzunk!

Ekkor és párhuzamosak.
Bizonyításvázlat. Húzzunk párhuzamost keresztül -vel, messe ez az egyenes szögszárat -ben. Felírva a párhuzamos szelők tételét -re és -re, valamint felhasználva a feltételt, azonnal adódik.

Vigyázat! A párhuzamos szelők tételének erősebb alakja lényegében nem fordítható meg. Ehhez tekintsük a 10. ábrát!

4.8. gyakorlat. Fordítsuk meg a párhuzamos szelőszakaszok tételét! Igaz-e a megfordítás? Ha nem sikerül válaszolni, kutakodjunk a könyvtárban vagy az Interneten!
Tipp: Tekintsük újra a 8. ábrát. Van-e olyan pont az szögszáron, amire ?

« Előző | Következő »