Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 4.1. Alapismeretek

Alakzatok egybevágóságára mindenkinek van szemléletes fogalma: két síkidom egybevágó, ha őket kivágva papírból,
a két papírdarab egymással tökéletes fedésbe hozható. Pontosabb definíciót a következő leckében adunk. Az egybevágóság jele .

A fenti eljárás szerint bárki meggyőződhet a következő tételről.

12. tétel (Háromszögek egybevágóságának alapesetei). Két háromszög egybevágó, ha

- oldalaik hossza páronként egyenlő;
- két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;
- egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő;
- két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők.

Most már be tudjuk bizonyítani a Pitagorász-tétel megfordítását is.

13. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy teljesül egy háromszög oldalaira. Tekintsünk egymásra merőleges $a$ ill. $b$ hosszúságú szakaszokat, amelyeknek az egyik végpontjuk közös. Ez a két szakasz meghatároz egy derékszögű háromszöget, aminek a harmadik oldala a Pitagorász-tétel miatt éppen . Az így kapott derékszögű háromszög tehát egybevágó az eredeti háromszöggel - hiszen mindhárom oldaluk hossza páronként egyenlő -, ami a tételt igazolja.

4.1. gyakorlat. Adjunk példát két olyan háromszögre, amiknek van két egyenlő oldalpárjuk, és egy egyenlő szögük, de a két háromszög nem egybevágó.

Megoldás. Vegyünk fel egy tetszőleges szakaszt, és rajzoljunk középponttal egy kört sugárral. Most húzzunk egy félegyenest -ből, ami a kört két különböző, és pontokban metszi. Az -nek és az -nek az oldala közös, a szerkesztés miatt , valamint a -nél lévő szög is közös, a két háromszög mégsem egybevágó.

Kisérletezzünk a GeoGebraTube-on! Miért fontos, hogy ?

4.2. gyakorlat. Egészítsük a paralelgramma-tételre adott bizonyításunkat, és mutassuk meg, hogy .

4.3. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egyenlőszárú háromszögben () a csúcsból induló súlyvonal, magasságvonal és szögfelező egybeesik!

4.4. gyakorlat. Legyenek az oldalfelező pontjai , és . Mutassuk meg, hogy . (Ahol az területét jelöli, értelemszerűen.)

4.5. feladat. Igaz-e, hogy ha két háromszög magasságai páronként egyenlőek, akkor a két háromszög egybevágó?

« Előző | Következő »