Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 5.1. Tengelyes tükrözés

Rögzítsünk egy egyenest a síkon, és tekintsünk egy tetszőleges pontot. Ekkor pontosan egy olyan pont létezik, hogy a szakaszfelező merőlegese. (Ha , akkor megállapodás szerint .) A pontot a pont -re vonatkozó tükörképének nevezzük. Azt a transzformációt, amely minden ponthoz hozzárendeli az -re vonatkozóz tükörképét, az -re vett tengelyes tükrözésnek nevezzük.

11. ábra. Tengelyes tükrözés

Dinamikus ábra a tengelyes tükrözésről a GeoGebraTube-on.
Használjuk fel a szakaszfelező merőleges korábbi definícióját, valamint a háromszögek egybevágóságának tanult alapeseteit, és ezek segítségével igazoljuk az alábbi állítást.

5.1. gyakorlat. Ha a és pontok -re vonatkozó tükörképei rendre és , akkor .

Megoldásvázlat. Tegyük fel, hogy egyenes pontban metszi az tengelyt, továbbá legyen egy -től
különböző pont a tengelyen. Mutassuk meg, hogy és .
Ebből az állítás következik. (Miért?) Mi a helyzet, ha ?

A fenti állítást úgy is mondjuk röviden, hogy a tengelyes tükrözés távolságtartó, hiszen ha tekintünk két tetszőleges pontot, akkor tükörképeik távolsága
megegyezik az eredeti pontok (őspontok) távolságával. A következő állításban összefoglaljuk a tengelyes tükrözés legfontosabb tulajdonságait.

17. tétel (A tengelyes tükrözés alaptulajdonságai). A tengelyes tükrözés

1. távolságtartó;
2. szögtartó;
3. területtartó;
4. a tengely pontjait fixen hagyja;
5. a tengelyhez tartozó két (nyílt) félsíkot felcseréli;
6. involúció, azaz kétszer egymás után végrehajtva minden pont visszakerül eredeti helyére;
7. a tengelyre merőleges egyeneseket önmagukba viszi.

5.2. gyakorlat. (a) Piroska a nagymamához készül. Mi a legrövidebb út, ha közben még a folyóparton a korsóját is meg kell töltenie friss vízzel? (Piroska és a nagymama egy-egy pont, a folyó egy egyenes által határolt félsík, ami nem tartalmazza Piroskát és a nagymamát.)

1. Egy hegyesszögtartományban adott egy pont. Mi a legrövidebb út, ami a szög mindkét szárát érinti, majd visszatér -be?
2. Egy hegyesszögtartományban adottak és pontok. Mi a legrövidebb -ból -be vezető út, ami a szög mindkét szárát érinti?

Megoldás.
a) Jelölje Piroskát, a nagymamát, a folyót. Legyen -re vonatkozó tükörképe , és messe egyenes -t -ben. Egy tetszőleges pontra

Ez mutatja, hogy a és szakaszokból álló (töröttvonal) séta a legrövidebb.

b) (Vázlat.) Tükrözzük -t a szögszárakra, és a kapott pontokat kössük össze egy egyenessel. Ez az egyenes messe a szögszárakat -ben és -ban. háromszög alakú séta a megoldás, az indoklás hasonlóan történhet az a) részhez.

c) (Vázlat.) Az pontot az egyik, -t a másik szögszárra tükrözzük, majd a b) résszel analóg módon indoklunk. Vigyázat! Ez esetben kettő lehetőséget kapunk, amik közül a rövidebbet kell majd választanunk. (Nem mindegy, hogy az -ból induló séta először melyik szögszárat látogatja meg.)

« Előző | Következő »