Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 5.2. Alapismeretek

Legyen a sík transzformációja, vagyis egy a sík pontjaihoz a sík pontjait kölcsönösen egyértelműen rendelő leképezés. A transzformáció távolságtartó, vagy idegen szóval izometrikus, ha két tetszőleges pont távolsága megegyezik melletti képeik távolságával, azaz bármely és pontokra, valamint és melletti képeikre .

Durván szólva az izometriák azok a transzformációk, amik a sík "minden geometriai tulajdonságát" megőrzik. Épp ezért alapos megértésük alapvető fontosságú. Legegyszerűbb példa az identitás, vagyis az a transzformáció, ami minden ponthoz önmagát rendeli, valamint a már megismert tengelyes tükrözés.

Azokat a pontokat, amiket a izometria helyben hagy, a fixpontjainak nevezzük; vagyis a pont a fixpontja,
ha . Az identikus transzformációnak minden pont fixpontja. Tengelyes tükrözés esetén pontosan a tengely pontjai fixek.

5.3. gyakorlat. Tegyük fel, hogy izometriának fixpontja, valamint pont melletti képe . Mutassuk meg, hogy
rajta van a szakaszfelező merőlegesén.

Megoldás. Mivel izometria, így , de fix, , s így ,
vagyis valóban egyenlő távolságra van a és a pontoktól.

A következő tétel alapvető fontosságú.

18. tétel. Tegyük fel, hogy a izometriának van három különböző, nem kollineáris fixpontja. Ekkor az identitás.
Bizonyítás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy létezik egy pont, ami nem fix: . Ekkor 5.3. gyakorlat szerint minden fixpont rajta van a szakaszfelező merőlegesén, ami ellentmond annak, hogy a három adott fixpont nem kollineáris. Így eredeti feltevésünk hibás, vagyis minden pontot fixen hagy, azaz az identitás.

A következő feladatot érdeklődő hallgatóknak ajánljuk.

5.4. feladat. Ha a izometriának van két különböző fixpontja, akkor vagy az identitás, vagy a egyenesre
vonatkozó tükrözés.

A feladat megoldásához szükséges ötlet segítségével igazolható a következő tétel.

19. tétel (Síkizometriák klasszifikációja). Minden síkizometria az alábbiak valamelyike:

- identitás;
- tengelyes tükrözés;
- pont körüli forgatás;
- eltolás;
- csúsztatva tükrözés.

Az eddig nem tárgyalt síkizometriákat a következő szakaszokban mutatjuk be.

« Előző | Következő »