Geometria I.

- Geometria I.
- Kivonat
- 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés
  - 1.1 Alapismeretek
  - 1.2. Három térelem kölcsönös helyzete
  - 1.3. Kapcsolódó nevezetes tételek
  - 1.4. Gyakorlatok
- 2. A háromszög
  - 2.1. Alapismeretek
  - 2.2. A háromszög nevezetes pontjai
    - 2.2.1. A körülírt kör középpontja
    - 2.2.2. A beírt kör középpontja
    - 2.2.3. A magasságpont
    - 2.2.4. A súlypont
- 3. Derékszögű háromszög
  - 3.1. Alapismeretek
  - 3.2. Pitagorász-tétel
  - 3.3. Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre
- 4. Háromszögek egybevágósága, párhuzamos szelők
  - 4.1. Alapismeretek
  - 4.2. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele
- 5. Távolságtartó transzformációk
  - 5.1. Tengelyes tükrözés
  - 5.2. Alapismeretek
    - 5.2.1. Eltolás
    - 5.2.2. Pont körüli forgatás
    - 5.2.3. Csúsztatva tükrözés
- 6. I. ellenőrző dolgozat
- 7. Egybevágóság és szimmetria
  - 7.1. Egybevágóság
  - 7.2. Szimmetria
  - 7.3. Tengelyes szimmetriák
- 8. Hasonlóságok
  - 8.1. Középpontos hasonlóság
  - 8.2. Alapismeretek
  - 8.3. Nevezetes tételek
  - 8.4. Gyakorlatok
- 9. Euklidészi szerkesztések
  - 9.1. Alapismeretek
  - 9.2. Euklidészi alapszerkesztések
  - 9.3. További alapvető euklidészi szerkesztések
- 10. Szerkesztések és transzformációk
  - 10.1. Alapfeladatok
  - 10.2. Gyakorlatok
- 11. Illeszkedés, a sík és a tér feldarabolása
  - 11.1. A Sylvester-Gallai tétel
  - 11.2. A seprűegyenes
  - 11.3. Gyakorlatok
- 12. II. ellenőrző dolgozat
- 13. Nevezetes tételek, egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok

« Előző | Következő »

# 11.2. A seprűegyenes

29. tétel. általános helyzetű egyenes a síkot darabra bontja.

Bizonyítás. Jelölje az adott egyeneseket . Mivel az egyenesek általános helyzetűek, így bármely kettő metszi egymást, és semelyik három nem illeszkedik közös pontra. Így metszéspontjaik száma annyi, ahány egyenespárt kiválaszthatunk az egyenes közül. A pár első tagjára , második tagjára választási lehetőségünk van, de a kiválasztás sorrendje lényegtelen, így a metszéspontok száma . Legyenek a metszéspontok . Tekinsünk egy egyenest, ami nem párhuzamos a által meghatározott egyenesek egyikével sem, valamint a pontok mind ugyanazon oldalára esnek. (Egy ponthalmaz meghatároz egy egyenest, ha a ponthalmaz legalább két pontja illeszkedik az egyenesre.)

Az egyenes az egyenesek mindegyikét egy-egy pontban metszi. Ha egyenesen "végigsétálunk'', pontosan akkor lépünk át egy síkrészből egy másikba, amikor áthaladunk egy ilyen metszésponton, így az egyenes pontosan létrejött síkrészt metsz.

Most képzeletben seperjünk végig az egyenessel a pontokon, vagyis toljuk el párhuzamosan -t folytonosan addig, míg az összes pont át nem kerül másik oldalára. Az speciális választása miatt a pontokon egyesével "haladunk át". Egy ábrával könnyen meggyőződhetünk róla, hogy minden egyes ilyen áthaladáskor elhagy egy korábban metszett síkrészt, és helyette egy új síkrészbe metsz bele.

A leírtakból következik, hogy a létrejött síkrészek száma megegyezik a kezdetben metszett síkrészek számának és a metszéspontok számának összegével, vagyis , ahogy állítottuk.

A fenti módszer a térben is működik. A gondolatmenetet lemásolva oldjuk meg a következő feladatot!

11.4. feladat. Legfeljebb hány részre oszthatja a teret sík?

Egy érdekes variánst kapunk a térben, ha feltesszük, hogy a síkok mind illeszkednek az origóra.

11.5. feladat. Legfeljebb hány részre oszthatja a teret origóra illeszkedő sík?

A téma iránt érdeklődőknek ajánljuk Hatvani László: A tér darabolása síkokkal (Polygon XX. évf. 1. szám (2011), 101--106) című cikkét, amiben a fenti két feladat megoldása is megtalálható.

« Előző | Következő »